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高等数学,x→0求lim[1/E(1+x)^(1/x)]^(1/x)

lim(x→0)[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)=lim(x→0)e^ln{[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)}=e^lim(x→0)(-1+ln(1+x)/x)/x=e^lim(x→0)(-x+ln(1+x))/x^2 [洛必达法则]=e^lim(x→0)(-1+1/(1+x))/2x=e^lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]=e^(-1/2) lim[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)=lim[1/(e*e)]^(1/x) 这一步不对 极限的四则运算没有这种计算法

原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x (把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e)=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 (x→0时,有e^x-1~x)=-e/2

原式=lim{e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x(x->0)=e*{e^[(1/x)*ln(1+x)-1]-1}/x然后通分=e*[ln(1+x)-x]/(x^2)=再求导=e*{[1/(1+x)]-1}/2x=-e/2

这个用常用极限lim(1+x)^(1/x)=e 就可以得出,很简单原式=lim(1+xe^x)^[(1/xe^x)e^x]=lime^(e^x)=e^1=e应该能看懂吧?看不懂请追问~看懂了就加分~

这个先ln,再洛必达设y=[((1+x)^(1/x))/e]^(-1/x)lny=(-1/x)[(1/x)ln(1+x)-1] =[x-ln(1+x)]/x^20/0,洛必达一次=[1-1/(1+x)]/2x=[x/(1+x)]/2x=1/[2(1+x)]=1/2所以lny->1/2y->e^(1/2),即为所求

令t=1/x,则t→0 lim x(e^(1/x)-1) x→∞=lim (1/t)(e^t-1) t→0=lim(e^t-1)/t t→0 根据等价无穷小:(e^x-1)=x=lim t/t t→0=1

把(1+x)^(1/x)化成e^ln[(1+x)^(1/x)]=e^[(1/x)*ln(1+x)]则原式分子为e*(e^[(1/x)*ln(1+x)-1]-1)∽e*[(1/x)*ln(1+x)-1]上面用了等价无穷小代换lim(x趋于0)[(1+x)^(1/x)-e]/x=e*lim(x趋于0)[(1/x)*ln(1+x)-1]/x =e*lim(x趋于0)[ln(1+x)-x]/x^2洛必达法则[1/(1+x)-1]/2x=1/2(1+x)原式极限为e/2

x→0,lim[1/x-1/(e^x-1)]=lim[(e^x-1-x)/x(e^x-1)]这个0/0型的,运用罗比达可以得到结果,但是我运用的是等价无穷小和泰勒展开来解题的,e^x=1+x+x^2/2+……+x^n/n!n->oo对于本题,展开到二阶即可,因为分母e^x-1~x,在x->0的时候.所以,极限为:x→0时lim[1/x-1/(e^x-1)]=lim[x^2/2+o(x^2)]/x^2=1/2+0=1/2

求x趋近于什么的极限?请补充.解:原式=lim[x+x^2+e^(-x)-1]/[x-xe^(-x)]=lim[1+2x-e^(-x)]/[1-e^(-x)+xe^(-x)] x→0 x→0 =lim[2+e^(-x)]/[2e^(-x)-xe^(-x)]=lim(3/1)=3 x→0 x→0若有疑问,欢迎追问.

这个题是用到重要极限的,知道你上面说的那个重要极限才知道分子分母同时趋于0,才想到可以用洛必达法则,在用洛必达法则求分子的极限时,可以转换为指数形式,更方便求解.

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